采样

采样（sampling）是将信号从连续时间域上的模拟信号转换到离散时间域上的离散信号的过程。

对一个模拟信号\(x(t)\)进行采样时，取该信号每隔\(T_S\)秒的值，得到一个离散时间序列，\(x_n = x(T_S)\)。

将\(x(t)\)与一冲激串（impulse train）相乘，可得：

\[
x_S(t) = x(t)\sum_n \delta (t-nT_S) = \sum_n x(nT_S)\delta (t - nT_S) = \sum_n x_n\delta (t-nT_S)
\]

这一过程被称为 impulse sampling。

理想的滤波器

滤波器（filter）的功能是去除信号中不需要的频率成分以及增强需要的频率成分。

对于连续时间 LTI 系统，输出信号的频谱是由输入信号的频谱与系统的频率响应相乘而得的。因此，滤波器本质上是表现出某种频率选择性行为的系统。

通过滤波器的频带被称为通带（pass-band），而被滤波器拒绝的频带被称为阻带（stop-band）。

以下是两个理想滤波器的例子。

Ideal Low-Pass Filter (LPF)

\[
\begin{split}
&\mbox{Frequency response: }\ H(f) = A \mathrm{rect}\left(\frac{f}{2B}\right)
\newline
&\mbox{Impulse response: }\ h(t) = 2AB \mathrm{sinc} (2Bt)
\newline
&\mbox{Cutoff frequency} = \mbox{Bandwidth} = B
\end{split}
\]

Ideal Band-Pass Filter (BPF)

\[
\begin{split}
&\mbox{Frequency response: }\ H(f) = A \left[\mathrm{rect}\left(\frac{f+f_0}{B}\right) + \mathrm{rect}\left(\frac{f-f_0}{B}\right)\right]
\newline
&\mbox{Impulse response: }\ h(t) = 2AB \mathrm{sinc} (Bt) \cos (2\pi f_0 t)
\newline
&\mbox{Upper Cutoff frequency} = f_u
\newline
&\mbox{Lower Cutoff frequency} = f_l
\newline
&\mbox{Center frequency} = f_0 = 0.5 (f_u + f_l)
\newline
&\mbox{Bandwidth} = B = f_u - f_l
\end{split}
\]

连续时间采样和信号重建

采样（采样频率：\(f_S = \frac{1}{T_S} = 2 f_m\)）

重建

假如采样频率：\(f_S = \frac{1}{T_S} < 2f_m\)

会造成频率混叠（frequency aliasing）。无法完美重建信号。

假如采样频率：\(f_S = \frac{1}{T_S} > 2f_m\)

过采样（oversampling）。可完美重建信号。

关于这方面内容详见采样定理（Nyquist Sampling Theorem），此处不赘述。

对于 Band-limited Bandpass Signal 在低于奈奎斯特采样率下的采样

Suppose the spectrum \(X(f)\) of \(x(t)\) is as shown below:

  • Nyquist rate: \(f_S \geq 2f_C + B\)
  • Is it possible to sample a bandpass signal below Nyquist rate and yet achieve perfect signal reconstruction? The answer is YES, if \(f_C \geq B\).
    • Overlapping spectral images:
      \(f_S = \frac{2f_C}{k};\ k = 1,\ 2,\dots ,\ \lfloor \frac{2f_C}{B}\rfloor\)
    • Un-aliased spectral images:
      \(\frac{2f_C + B}{k+1} \leq f_S \leq \frac{2f_C - B}{k};\ k = 1,\ 2,\dots ,\ \lfloor \frac{2f_C-B}{2B}\rfloor\)

还有一些其它情况，具体问题具体分析。

这门课到此结束！