频谱定义

一个信号的频域的表示被称为它的频谱（spectrum）。

频谱的数学模型，简而言之，就是一个频率的复函数。因此频谱的图像表达就包含了两部分：量谱（magnitude spectrum）和相位谱（phase spectrum）。在某些情况下，可以将其结合为一个谱图。

Sinusoid 的频谱

Complex exponential signal 的频谱

信号模型：

\[
\tilde x = \mu\exp[j(2\pi f_pt+\phi)] = \mu\exp(j\phi)\exp(j2\pi f_pt)
\begin{cases}
\mbox{Magnitude Spectrum:}\quad&\mu
\newline
\mbox{Phase Spectrum:}\quad&\phi
\newline
\mbox{Frequency:}\quad &f_p
\end{cases}
\]

频谱图：

Cosine signal 的频谱

信号模型：

\[
\begin{split}
x_c(t) &= \mu\cos(2\pi f_0t+\phi) = \frac{1}{2}\mu\exp[j(2\pi f_0t+\phi)]+\frac{1}{2}\mu\exp[-j(2\pi f_0t+\phi)] \\
&= \frac{\mu}{2}\exp(j\phi)\exp(j2\pi f_0t)+\frac{\mu}{2}\exp(j(-\phi))\exp(j2\pi(-f_0)t)
\end{split}
\]

频谱图：

Sine signal 的频谱

信号模型：

\[
\begin{split}
x_s(t) &= \mu\sin(2\pi f_0t+\phi) = \frac{1}{j2}\mu\exp[j(2\pi f_0t+\phi)]-\frac{1}{j2}\mu\exp[-j(2\pi f_0t+\phi)] \\
&= \frac{\mu}{2}\exp[j(\phi - \frac{\pi}{2})]\exp(j2\pi f_0t)+\frac{\mu}{2}\exp[j(-\phi + \frac{\pi}{2})]\exp(j2\pi(-f_0)t)
\end{split}
\]

频谱图：

傅里叶级数

不同于 sinusoids，non-sinusoids 的周期信号的频谱无法简单地通过观察得到。这些信号的频谱可以采用称为傅里叶级数的手段得到。

Complex Exponential Fourier Series

任何一个 bounded periodic signal，\(x_p(t)\)，都可以表示为一组 harmonically related complex sinusoids 的加和：

\[
x_p(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\exp(j2\pi kt / T_p) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\exp(j2\pi kf_pt)
\]

其中\(1/T_p\)是基本频率，而\(k/T_p\)是信号\(x_p(t)\)的第\(k\)个谐波频率（harmonic frequency）。

\(c_k\)被称为傅里叶系数（Fourier series coefficients），它们构成了\(x_p(t)\)的离散频谱（discrete-frequency spectrum）。

给定一个\(x_p(t)\)，求第\(k\)个傅里叶系数：

\[
c_k = \frac{1}{T_p}\int_{t_0}^{t_0+T_p}x_p(t)\exp(-j2\pi kt / T_p)\mathrm{d}t,\ k=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\dots
\]

Trigonometric Fourier Series

上面的式子也可以用 cosine 和 sine 函数来表示：

\[
x_p(t) = a_0+2\sum_{k=1}^{\infty}[a_k\cos(2\pi kt / T_p)+b_k\sin(2\pi kt / T_p)]
\]

其中

\[
\begin{split}
a_k=\frac{c_{-k}+c_k}{2}=\frac{1}{T_p}\int_{t_0}^{t_0+T_p}x_p(t)\cos(2\pi kt / T_p)\mathrm{d}t;\ k\geq 0 \\
b_k=\frac{c_{-k}-c_k}{2}=\frac{1}{T_p}\int_{t_0}^{t_0+T_p}x_p(t)\sin(2\pi kt / T_p)\mathrm{d}t;\ k> 0
\end{split}
\]