能量谱密度

能量谱密度（energy spectral density）描述了信号的能量在其频率上的分布情况。在时域中，信号\(x(t)\)的能量可通过下面这个公式计算：

\[
E = \int_{-\infty}^{\infty} \lvert x(t) \rvert ^2 \mathrm{d}t
\]

Rayleigh’s energy theorem 提供了另一个在频域中计算能量的方式：

\[
E = \int_{-\infty}^{\infty} \lvert X(f) \rvert ^2 \mathrm{d}f
\]

因为上述公式右部的积分是信号\(x(t)\)的总信号，我们可以把被积式\(\lvert X(f) \rvert ^2\)看作是该信号在频率\(f\)上的能量密度。由此可得能量谱密度的定义为：

\[
E_x(f) = \lvert X(f) \rvert ^2\ \mbox{(Joules/Hz)}
\]

\(E_x(f)\)的性质：

  • \(E_x(f)\)是\(f\)的一个实函数。

  • 对于任意\(f\)，\(E_x(f) \geq 0\)成立。

  • 当\(x(t)\)为实函数时，\(E_x(f)\)是偶函数。

功率谱密度

前面关于能量谱密度的内容仅在能量信号上有意义。类似的，对于功率信号，可以通过功率谱密度（power spectral density）来描述其功率在频率上的分布情况。

在时域中，功率被定义为信号幅度平方的平均量：

\[
P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} \lvert x(t) \rvert ^2 \mathrm{d}t
\]

Rayleigh’s power theorem 提供了另一个在频域中计算功率的方式：

\[
P = \int_{-\infty}^{\infty} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \lvert X_T(f) \rvert ^2 \mathrm{d}f
\]

因为上述公式右部的积分是信号\(x(t)\)的平均功率，我们可以把被积式\(\lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \lvert X_T(f) \rvert ^2\)看作是该信号在频率\(f\)上的功率密度。由此可得功率谱密度（Energy Spectral Density）的定义为：

\[
P_x(f) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \lvert X_T(f) \rvert ^2\ \mbox{(Watts/Hz)}
\]

\(P_x(f)\)的性质：

  • \(P_x(f)\)是\(f\)的一个实函数。

  • 对于任意\(f\)，\(P_x(f) \geq 0\)成立。

  • 当\(x(t)\)为实函数时，\(P_x(f)\)是偶函数。

周期信号的功率谱密度

上述计算功率谱密度的公式比较复杂，然而在周期函数中，结果会更加直观一些。

令\(f_p\)，\(T_p\)和\(c_k\)分别为周期信号\(x_p(t)\)的基本频率，周期和傅里叶系数。

\(x_p(t)\)的功率谱密度：

\[
P_x(f) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \lvert c_k \rvert ^2 \delta (f- \frac{k}{T_p})
\]

\(x_p(t)\)的平均功率：

\[
P = \int_{-\infty}^{\infty} P_x(f) \mathrm{d}f = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \lvert c_k \rvert ^2
\]

频带宽度

信号\(x(t)\)的频带宽度（bandwidth）是对其频率范围的衡量。

Bandlimited Signals

  • Lowpass Signal如果一个信号的频率成分在一个确定的有限频率之上都为零，那么这个信号被称为 bandlimited lowpass signal。\[
    \lvert X(f) \rvert = 0;\quad \lvert f \rvert > B
    \]其中\(B\)是信号的频带宽度。

  • Bandpass Signal如果一个信号的频率成分在一个确定的有限频率范围之外都为零，那么这个信号被称作 bandlimited bandpass signal。\[
    \lvert X(f) \rvert = 0;\quad \lvert f \rvert < f_c - B/2 \ \mbox{or}\ \lvert f \rvert > f_c + B/2
    \]其中\(f_c\)和\(B\)分别为该信号的中心频率（center frequency）和频带宽度。

Signals with Unrestricted Band

3dB Bandwidth

  • Lowpass SignalThe 3dB bandwidth of a lowpass signal \(x(t)\) is defined as the frequency at which \(\lvert X(f) \rvert = \lvert X(0) \rvert / \sqrt{2}\) first occurs when \(f\) is increased from 0.\(f_B\) is called the 3dB frequency because: \[
    \begin{split}
    20\log_{10}(\lvert X(f_B) / X(0)\rvert) &= 20\log_{10}(1/\sqrt{2}) \\
    &\approx -3.01\ \mbox{dB}
    \end{split}
    \]

  • Bandpass SignalLikewise, the 3dB bandwidth of a bandpass signal \(x(t)\) with center frequency \(f_c\) is defined as illustrated below:

1st-null Bandwidth

  • Lowpass SignalThe 1st-null bandwidth of a lowpass signal \(x(t)\) is defined as the frequency at which \(\lvert X(f) \rvert = 0\) first occurs when \(f\) is increased from 0:

  • Bandpass SignalLikewise, the 1st-null (a.k.a. null-to-null) bandwidth of a bandpass signal \(x(t)\) with center frequency \(f_c\) is defined as illustrated below: