系统

系统，是一个关于输入信号（input/excitation signal）和输出信号（output/response signal）的数学模型。

定义输入为\(x(t)\)，输出为\(y(t)\)，那么系统可视作一个从\(x(t)\)到\(y(t)\)的一个转换，或者映射。用数学语言表达就是：

\[
y(t)=\mathrm{T}[x(t)]
\]

其中\(\mathrm{T}\)是一个表达了数个转换规则的算子。

系统的分类

  • 有记忆（memory）系统与无记忆（memoryless）系统

    如果一个系统在给定时间的的输出仅取决于该时间的输入，那么这个系统为无记忆系统。否则，这个系统为有记忆系统。

    例子：

    An example of a memoryless system is a resistor \(R\) with the current \(i(t)\) flowing through it taken as the input and the voltage \(v(t)\) across it as output. The input-output relationship (Ohm’s law) of the resistor is

    \[
    v(t)=R\cdot i(t)
    \]

    Clearly, the output voltage at time \(t\) depends on only the value of the input current at time \(t\).

    An example of a system with memory is a capacitor \(C\) with the current \(i(t)\) flowing through it taken as the input and the voltage \(v(t)\) across it as output. The input-output relationship of the capacitor is

    \[
    v(t)=\frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i(\tau)\mathrm{d}\tau
    \]

    Clearly, the output voltage at time \(t\) depends on all values of the input current from time \(-\infty\) to \(t\).

  • 因果（causal）系统和非因果（noncausal）系统

    如果一个系统当前的输出仅取决于当前与过去的输入，那么这个系统为因果系统。换言之，因果系统不可能在输入到达的时刻之前产生输出。

    如果一个系统当前的输出与未来的输入有关，那么这个系统为非因果系统。

  • 稳定（stable）系统和非稳定（unstable）系统

    如果对于任何有界输入\(x(t)\)对应的输出\(y(t)\)同样是一个有界值，那么该系统是稳定（BIBO stable）系统。

    如果不是所有有界输入都对应有界输出，那么该系统是非稳定系统。

  • 线性（linear）系统和非线性（nonlinear）系统

    满足下列条件的系统被称作线性系统：

    \[
    \begin{split}
    \mbox{Additivity: }\quad &\begin{split} \mathrm{T}[x_1(t)+x_2(t)] &= \mathrm{T}[x_1(t)] + \mathrm{T}[x_2(t)] \newline &=y_1(t) + y_2(t)\end{split}
    \newline
    \mbox{Homogeneity (or Scaling): }\quad &\mathrm{T}[\alpha x(t)] = \alpha \mathrm{T}[x(t)] = \alpha y(t)
    \end{split}
    \]

    上述两个条件可以合并为一个：

    \[
    \mathrm{T}[\alpha_1 x_1(t) + \alpha_2 x_2(t)] = \alpha_1 y_1(t) + \alpha_2 y_2(t)
    \]

    这被称为叠加性质（superposition property）。

    另一个线性系统的重要性质是：零输入对应零输出。

    不满足上述条件的系统即为非线性系统。

    之前例子中关于电阻和电容的系统均为线性系统。

  • 时变（time-varying）系统和非时变（time-invariant）系统

    如果在一个系统中，对于输入信号的时移会造成相同的输出信号的时移，那么这个系统是非时变系统。即对于任意\(\tau\)：

    \[
    \mathrm{T}[x(t-\tau)] = y(t-\tau)
    \]

    不满足上述条件的系统是时变系统。