反馈

Static analysis

考虑下面这个 feedback block：

\(r\) 是 reference input signal，\(y\) 是 output signal，\(e\) 是 error signal。\(G\) 被称作 open-loop system，\(K\) 被称作 forward 或 feedback system 或 plant。

暂时考虑静态的情况，所以 \(r\)，\(e\)，\(y\) 都为常实数。假设 \(G\) 和 \(K\) 都是 gain，即 \(y = Ge\)，\(e = r - Ky\)。

让 \(y = Hr\)，那么

\[
H = \frac{G}{1 + GK}
\]

\(H\) 被称为 closed-loop system gain（\(G\) 被称为 open-loop system gain）。

\(L = GK\) 被称为 loop gain。

Sensitivity

\[
\begin{align}
\delta H &\approx \frac{1}{(1 + GK)^2}\delta G
\newline
\frac{\delta H}{H} &= \frac{1}{1 + GK}\frac{\delta G}{G} = S\frac{\delta G}{G}
\end{align}
\]

其中的 \(S\) 就是 sensitivity。

\[
S = \frac{1}{1 + GK} = \frac{1}{1 + L}
\]

不难看出，\(L\) 越大时，sensitivity \(S\) 和 closed-loop gain \(H\) 都越小。换句话说，可以用 gain 的减小换取 sensitivity 的减小。

Disturbance

考虑输入输出都有干扰的开环系统：

\[
y = Gr + Gd_{\mbox{in}} + d_{\mbox{out}}
\]

考虑输入输出都有干扰的闭环系统：

\[
y = \frac{G}{1 + GK}r + \frac{G}{1 + GK}d_{\mbox{in}} + \frac{1}{1 + GK}d_{\mbox{out}}
\]

不难看出，loop gain 越大时干扰的效果就越小。

Dynamic analysis

假设所有信号 \(r\)，\(y\)，\(e\) 都是动态的，即随时间变化。

使用拉普拉斯变换可得：

\[
Y(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)K(s)}U(s) = H(s)U(s)
\]

其中 \(H(s)\) 是 closed-loop transfer function。

另外还有 \(L = GK\) （loop transfer function）和 \(S = \frac{1}{1 + GK}\) （sensitivity transfer function）。

具有反馈的系统将会有更小的 gain 和更快的 response。

稳定性

In general, closed-loop transfer function for single-input single-output system with negative feedback may be obtained from the rule:

\[
\mbox{output} = \frac{\mbox{“direct”}}{1 + \mbox{“loop”}}\cdot \mbox{input}
\]

对于一个 closed-loop system 可以从它的 closed-loop characteristic equation 得到 poles:

\[
a(s) = a_0 + a_1s + a_2s^2 + \dots + a_ns^n = 0
\]

对于阶在四以内的情况可直接判定：

Degree	Hurwitz polynoimal	Conditions
1	\(a_0 + s\)	\(a_0 > 0\)
2	\(a_0 + a_1 s + s^2\)	\(a_0 > 0, a_1 > 0\)
3	\(a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + s^3\)	\(a_0 > 0, a_1 > 0, a_2 > 0, a_2a_1 > a_0\)
4	\(a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + a_3 s^3 + s^4\)	\(a_0 > 0, a_1 > 0, a_2 > 0, a_3 > 0, a_3a_2 > a_1, a_1a_2a_3 - a_3^2a_0 > a_1^2\)

Root locus plot 是反映反馈的不同所造成的系统的 poles 的位置变化的图。